论集合元素的二重性——兼析悖论问题

在传统集合中元素 X(或 Y)只扮演一个角色,代表一种身份,表示一种性质,发挥一种职能,在此基础上的集合公理为一阶公理。按照任何事物都可分的原理,元素 X 实际上有两种或两种以上性质,在此基础上推出的公理为二重性或二阶公理。一阶公理导致悖论的产生,二阶公理却彻底避免了悖论的出现。元素是集合的对象,又是集合的基础;元素的性质决定公理的性质,公理的性质又决定集合的性质。问题是如何去认识元素的性质,元素 X 是单一的还是可分的,只具有一重性,还是具有二重性?笔者认为元素是可分的,它具有二重性。如果在元素二重性基础上找到新的集合公理,那么集合在元素一重性基础上所遇到的悖论问题就会得到更合理的解决。