代数系统的幂等元

在一个代数系统中,它的代数式所具有的形式与这个代数系统的幂等元的存在情况有密切的关系。 设【S,+,·】是定义了两个二元运算“+”和“·”的代数系统,a仨S.若2a=a+a=a,对于运算“+”来说,a是S的一个幂等元。若a2=a·a=a,对于运算“·”来说,a是S的一个幂等元。 若在代数系统【S,+,·】中,S的每个元x对于这两种运算都是幂等元,则mx=x,xm=x,这里m是自然数,即x既没有系数,也没有次数。如在布系代数(B,-,+,·】中,B的每个元对这两种二元运算“+”和“·”都是幂等元,任取x1,x2,x3∈B,有（?）1,（?）2,（?）3∈B。象x1（?）2+（?）1（?）3,（x1+x3）x2这类既没有系数,每个元没有次数的代数式在布尔代数中才有意义。 若在代数系统【S,+,·】中,对于两种运算S有元x都不是幂等元,则x既有系数,又有次数。如在有单位元的环【R,+,·】中,R的零元对于这两种二元运算都是幂等元,R中的单位元1对于运算“·”是幂等元,除此之外,R可能有元x1,x2,x3对这两种运算都不是幂等元。于是形如3x1+x12、（-8x2）（6x15+2x3）这类既有系数,每个元有次数的代数式在环中是有意义的。 由此可见,探讨代数系统中幂等元的存在情况,是一件有意义的事情。下面,我们就从最简单的代数系统开始讨论。 1 幺半群与群的幂等元