摘要
极限是数学分析的基础,其重要性不言而喻。本文试就极限求法略作探讨。 一、利用定义求极限 我们知道,设{a<sub>n</sub>}是一个数列,a是一个确定的数,若对任何正数ε,总存在某一个自然数N,使得n】N,都有|a<sub>n</sub>-a|【ε,则a即为{a<sub>n</sub>}的极限,利用之,我们即可求得某些数列的极限。 例:求{n/（n+1）}的极限。 解:∵|n/（n+1）|=|1/（n+1）|=1/（n+1）【1/n ε】0取N=[1/ε],则当n】N时,即有|n/（n+1）-1|【ε 但是,我们必须明确,利用此法求极限,首先必须利用直觉猜测到极限是什么,因此,预见性要求较高,而事实上,本法常多用于证明数列极限。 例:证明（其中a】1） 证明:令a<sup>1/n</sup>-1=α,则α】0, ∴a=（1+α）≥1+nα=1+n(a<sup>1/n</sup>-1) （利用了贝努利不等式） ∴a<sup>1/n</sup>-1【（a-1）/n 可见,当时n】（a-1）/ε时,就有a<sup>1/n</sup>-1【ε ∴|a<sup>1/n</sup>-1|【ε ∴a<sup>1/n</sup>
