摘要
函数与方程有着密切的关系。由给定函数的解析式研究其性质为自然,而构造函数利用函数性质解题,则是一种创造性思维活动。对某些代数方程,运用这种方法,往往可以化难为易,避繁就简。例1 求证:方程8x<sup>6</sup>+12x<sup>4</sup>-27x<sup>3</sup>+33x<sup>2</sup>-9x+2=0无实数根。证明将原方程写成8x<sup>6</sup>+12x<sup>4</sup>+6x<sup>2</sup>+1=27x<sup>3</sup>-27x<sup>2</sup>+9x-1即 （2x<sup>2</sup>+1）<sup>3</sup>=（3x-1）<sup>3</sup>。若方程有实根,考虑函数f（u）=u<sup>3</sup>,u∈R,则f（u）是单调函数。设u<sub>1</sub>=2x<sup>2</sup>+1,u<sub>2</sub>=3x-1。上式等价于f（u<sub>1</sub>）=f（u<sub>2</sub>）,根据单调函数的性质得u<sub>1</sub>=u<sub>2</sub>即 2x<sup>2</sup>
