摘要
命题:从正整数中随机地选取两数,此两数互素的概率为6/π<sup>2</sup> 证:（1）假设A、B有素公因子p<sub>1</sub>,则 A≡0（modp<sub>1</sub>）,B≡0（modp<sub>1</sub>）又关于模p<sub>1</sub>的剩余类集为Mp<sub>1</sub>={[0],[1],…,[p<sub>1</sub>-1]}∴p{A能被p<sub>1</sub>整除}=p{B能被p<sub>1</sub>整除}=1/p<sub>1</sub>,则p{A、B没有素公因子p<sub>1</sub>}=1-1/p<sub>1</sub>·1/p<sub>1</sub>=1-1/p<sub>1</sub><sup>2</sup> （2）类似逐步分析p<sub>2</sub>,…p<sub>3</sub>,…则p{A、B没有素公因子p<sub>1</sub>}=1-1/p<sub>1</sub>·1/p<sub>1</sub>=1-1/p<sub>1</sub><sup>2</sup>（j=2,…,t）又∵事件{A、B没有素公因子p<sub>1</sub>}与事件{A、B没有素公因子p<sub>j</sub>}i≠j,i、j=1,…,t,…是相互独立的,故p{A,B没有公因子}=p{A、B互素} =p{A、B没有公因子p<sub>1</sub>,…,A、B没有素公因子p<sub>t</sub>} =multiply from i=1 to ∞（1-1/p<sub>j</sub><sup>2</sup>）令t→∞,有p{A、B互素}=multiply from p to （1-1/p<sup>2</sup>）=multiply from p to (1-p<sup>-2</sup>)则有上式=ζ（2）<sup>-1</sup>,则p{A、B互素}=6/π<sup>2</sup> （谢坤武）
出处
《湖北民族学院学报（自然科学版）》
CAS
1993年第1期19-19,共1页
Journal of Hubei Minzu University(Natural Science Edition)
