摘要
我们知道,3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=5<sup>2</sup>。20<sup>2</sup>+21<sup>2</sup>=29<sup>2</sup>,119<sup>2</sup>+120<sup>2</sup>=169<sup>2</sup>等等,有许多这样的前两数为连续整数的勾股数组,它们如何求出来?这个问题实际上就是求不定方程x<sup>2</sup>+（x+1）<sup>2</sup>=z<sup>2</sup>的所有正整数解。定理:x<sup>2</sup>+（x+1）<sup>2</sup>=z<sup>2</sup>的所有正整数解是: 证明:∵x<sup>2</sup>+（x+1）<sup>2</sup>=z<sup>2</sup> ∴2x<sup>2</sup>+2x+1=z<sup>2</sup> ∴（2x+1）<sup>2</sup>+1=2z<sup>2</sup> 即 （2x+1）<sup>2</sup>-2z<sup>2</sup>=-1 ∴ (2x+1+2<sup>1/2</sup>z)(2x+1-（2z）<sup>1/2</sup>) =-1因为有(1+2<sup>1/2</sup>)(1-2<sup>1/2</sup>)
