一个猜想的证明及拓广

在《由基本不等式“a^2+b^2≥2ab”想到的》(见本刊1989年第4期)一文中给出了以下猜想(即原文的命题19): 命题1 设a,b,c为正数,则 (1) a^5+b^+c^5≥a^8bc+ab^8c+abc^8; (2) a^n+b^n+c^n≥a^pb^qc^r+a^qb^rc^p+a^rb^pc^q。其中n∈N,p,q,r为非负整数,且p+q+r=n。我们首先证明这一猜想是成立的。证明 (1)用两种方法证。证法1 由(a^3-b^3)(a^2-b^2)≥0得 a^5+b^5≥a^3b^2+a^2b^3同理 b^5+c^5≥b^3c^2+b^2c^3, c^5+a^5≥c^3a^2+c^2a^3。以上三个不等式相加,并注意到b^2+c^2≥2bc,c^2+a^2≥2ca,a^2+b^2≥2ab,有 2(a^5+b^5+c^5)≥a^3(b^2+c^2)+b^3(c^2+a^2)+c^3(a^2+b^2)≥2a^3bc+2b^3ca+2c^3ab,