摘要
1986年全国高考试卷中有这么一道题: 已知 x<sub>1</sub>】0,x<sub>1</sub>≠1,且x<sub>n+1</sub>=（x<sub>n</sub>（x<sub>n</sub><sup>2</sup>+3））/（3x<sub>n</sub><sup>2</sup>+1）（n=1,2,3…） 求证数列{x<sub>n</sub>}或者对任意自然数n都满足x<sub>n</sub>【x<sub>n+1</sub>,或者对任意自然数n都满足x<sub>n</sub>】x<sub>n+1</sub>。这题有不少证法,拙作《递推式》（上海科技出版社1989年版）中曾引了五种证法。高考结束后,在一份数学杂志上曾刊登了一则利用反证法的证明。兹将它摘录如下: “证”若设{x<sub>n</sub>}对任意的自然数n既不满足x<sub>n</sub>【x<sub>n+1</sub>,也不满足x<sub>n</sub>】x<sub>n+1</sub>,则应满足x<sub>n</sub>=x<sub>n+1</sub>。再由题设可得 x<sub>n</sub>=（x<sub>n</sub>（x<sub>n</sub><sup>2</sup>+3））/（3x<sub>n</sub><sup>2</sup>+1） 3x<sub>n</sub><sup>3</sup>+x<sub>n</sub>=x<sub>n</sub><sup>3</sup>+3x<sub>n</sub> ∴x<sub>n</sub>=0,1,-1。
出处
《数学教学》
北大核心
1990年第1期10-11,共2页
