定义在三个互素因子链上的交错幂GCD和交错幂LCM矩阵的整除性

Divisibility of alternating Smith matrices on three coprime divisor chains

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并且设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素定义为(-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)_a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因子的a次幂,则称这个矩阵((-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a)是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)交错矩阵,简记为(AS^a).类似可定义a次幂最小公倍数(LCM)交错矩阵((-1)^(i+j)[x_i,x_j]~a),简记为[AS^a].在本文中,设S由三个互素的因子链构成,且1∈S.作者证明了如下结果成立:(1)若a|b,则det(AS^a)| det(AS^b),det[AS^a]| det[AS^b],det(AS^a)| det[AS^b];(2)在n阶整数矩阵环M_n(Z)中,若a|b,则(AS^a)|(AS^b),[AS^a]|[AS^b],(AS^a)|[AS^b];若ab,则(AS^a)(AS^b),[AS^a][AS^b],(AS^a)[AS^b].

Let S = {x_l ,x_2 ,… ,x_n } be a set ofn distinct positive integers anda≥1 be an integer. The matrix （ （-1 ）^i=j （xi ,xj ）a ） having the a th power （-1 ）^i=j（xl ,：rj ）a as its （i,j） entry is called a th power alternating greatest common divisor （GCD） matrix defined on S ,abbreviated by （AS^a）. Similarly we can define the a th power alternating LCM matrix （（-1）^i=j[x_l ,x_j]）, abbreviated by [AS^b ]. In this paper, we assume that S consists of two coprime divisor chains and 1 E S. We show the following results are true. If a [ b, then det （AS^a ） ] det （AS^b ）, det [AS^a ] I det [AS^b ], det （AS^a） [ det [AS^b ] ; If a [ b, then in the ring/Vim （Z） of n ）〈 n matrices over the integers, we have （AS^a） I （AS^b）, [AS^a] [AS^b, （AS^a） [AS^b ]. But such results fail to be true if a b. Key words： divisibility, three coprime divisor chains, alternating power GCD matrix, alternating power LCM matrix