1624号问题的研究

1 问题的提出 《数学通报》2006年7月1624号问题:若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2 +…+an=s,求证:1/a13(a2+a3+…+an)+1/a23(a1+a3+…+an)+…+1/an3(a1+a2+…+an-1)≥n5/s4(n-1).(1) 在2008年,罗邦华老师[1]利用一个不等式引理给出(1)证明,并将其结果进行了推广:若a1,a2,…,an∈R+,且a1+a2+…+an=s,|P|≥2,则n∑i=1 1/api(s-ai)≥np+2/sp+1(n-1).(2) 在2010年,翁利帅老师[2]分别利用构造不等式和函数凹凸性给出(1)的两种证明,并将(2)的条件| P |≥2再次推广到P∈(-∞,-1]U[0,+∞),(2)仍成立,但其推广证明较为复杂且在文中结语写:在推广过程中留下一点遗憾,未能对P∈(-1,0)的情况作出进一步的探究,望能与各位同行共同完善之.