复合泛函方程的稳定性

Stability of composition functional equation

研究了复合泛函方程T(T(x)-T(y))=T(x+y)+T(x-y)-T(x)-T(y)在泛函Φ(x,y)限制下的稳定性问题.证明了:若E为Banach空间,泛函Φ:E×E→[0,∞)连续使得级数Φ(x)d=sum (2-j-1Φ(2jx,2jx)) from j=1 to ∞在E的任一有界子集上一致收敛,F:E→E是连续映射且满足‖F(F(x)-F(y))-F(x+y)-F(x-y)+F(x)+F(y)‖≤Φ(x,y)(■x、y∈E),则存在唯一的连续2-齐次映射T:E→E满足以上复合泛函方程且‖T(x)-F(x)‖≤Φ(x),■x∈E.

The stability of the composition functional equation T（T（x）- T（y）） = T（xq-y）＋T（x -y） -T（x） --T（y） with a controlling function φ（x,y） is discussed in this paper. It is proved that if E is a Banach spaces,φ：E×E→[0,∞）is continuous and such that the series φ（x）d= ∞∑=12-j-1φ（2jx,2jx）is uniformly convergent on every bounded subste of E,and F：E→E is a continuous mapping satisfying ｜｜F（F（x）-F（y）-F（x＋y）-F（x-y）＋F9x）＋F（y）｜｜≤φ（x,y）（ x,y∈E）.Then there exists aunique 2-homogeneous continuous mapping T：E→E such that x.∈E,F（F（x）-f（y）-F（x＋y）-F（x-y）＋F（x）＋F（y）=0,｜｜T（x）-F（x）｜｜≤φ（x）