一类N维非线性波动方程的Cauchy问题

Cauchy Problem for an N-Dimensional Nonlinear Wave Equation

证明下列非线性波动方程的Cauchy问题v_(tt)-α△v_(tt)-Δv=g(v)-αΔg(v),x∈R^N,t>0,(1)v(x,0)=v_0(x),v_t(x,0)=v_1(x),x∈R^N(2)在空间C^2([0,∞);H^s(R^N))(s>N/2)中存在唯一整体广义解v和在空间C^2([0,∞);H^s(R^N))(s>2+N/2N)中存在唯一整体古典解v,即u∈C^2([0,∞);C_B^2(R^N)).还证明Cauchy问题(1),(2)在C^3([0,∞);W^(m,p)(R^N)∩L~∞(R^N))(m≥0,1≤p≤∞)中有唯一整体广义解v和在C^3([0,∞);W^(m,p)(R^N)∩L~∞(R^N))(m>2+N/P)中有唯一整体古典解v,即v∈C^3([0,∞);C^2(R^N)∩L~∞(R^N)).

We prove that the Cauchy problem for the nonlinear wave equationvtt -αΔvtt -Δv = g（v） -αΔg（v）,x∈RN,t〉0,（1）v（x,0）=v0（x）,vt（x,0） = v1（x）,x∈RN（2）has a unique global generalized solution v in C2（[0,∞）;Hs（RN））（s〉N/2） and a uniqueglobal classical solution v in C2（[0,∞）;Hs（RN））（s〉2＋N/2）,i.e.,v∈C2（[0,∞）;CB2（Rn））.We also prove that the Cauchy problem（1）,（2） admits a unique global generalizedsolution v in C3（[0,∞）;Wm,p（RN）∩L∞（RN））（m≥0,1≤p≤∞） and a uniqueglobal classical solution v in C3{[0,∞）;Wm,p（RN） D L∞（RN））（m〉2 ＋ N/P）,i.e.,v∈C3（[0,∞）;C2（RN）∩L∞（RN））.