对称算子空间上的Jordan环同构

Jordan Ring Isomorphism on the Space of Symmetric Operators

设H为无限维的复Hilbert空间,J(H)是H上全体对称算子构成的Jordan代数,Φ:J(H)→J(H)为双射且Φ(I)=I.证明下列条件等价:(1)Φ(ABA)=Φ(A)Φ(B)Φ(A),A,B∈J(H);(2)Φ(1/2(AB+BA))=1/2Φ(A)Φ(B)+1/2Φ(B)Φ(A),A,B∈J(H);(3)Φ(ABC+CBA)=Φ(A)Φ(B)Φ(C)+Φ(C)Φ(B)Φ(A),A,B,C∈J(H);(4)Φ(1/2(ABC+CBA))=1/2Φ(A)Φ(B)Φ(C)+1/2Φ(C)Φ(B)Φ(A),A,B,C∈J(H);(5)Φ是J(H)上的Jordan环同构;(6)存在有界可逆的线性或共轭线性算子A:H→H,A^t=A^(-1),使得Φ(X)=AXA^t,X∈J(H).得到了J(H)上Jordan环同构的新刻画.

Let H be an infinite dimensional complex Hilbert space and I（H） bethe Jordan algebra of all symmetric operators in B（H）.We show that if bijectivemapsΦ：I（H）→I（H） withΦ（I） = I,then the following conditions are equivalent：（1）Φ（ABA） =Φ（A）Φ（B）Φ（A）,A,B∈I（H）;（2）Φ（（1/2）（AB ＋ BA）） =（1/2）Φ（A）Φ（B） ＋（1/2）（B）Φ（A）,A,B∈I（H）;（3）Φ（ABC ＋ CBA） =Φ（A）Φ（B）Φ（C） ＋Φ（C）Φ（B）Φ（A）,A,B,C∈I（H）;（4）Φ（（1/2）（ABC ＋ CBA）） =（1/2）Φ（A）Φ（B）Φ（C） ＋（1/2）Φ（C）Φ（B）Φ（A）,A,B,C∈I（H）;（5）Φis a Jordan ring isomorphism on I（H）;（6） there exists a bounded invertible linear or conjugate linear operator A：H→Hwith A^t = A^（-1） such thatΦ（X） = AX A^t for every X∈I（H）.New characterizationsof Jordan ring isomorphism on I（H） were got.