一个包含算术函数最小公倍数积的方程

An Equation Involving the L.C.M.Product of the Arithmetical Function

设f(n)及g(n)是两个算术函数,它们的最小公倍数积(有时也称为R.D.von Sterneck-Lehmer积)是通过这两个函数定义的一个新的算术函数C(n)=∑[r,s]=nf(r)g(s),其中[r,s]表示正整数r及s的最小公倍数.利用初等方法以及函数Ω(n)的性质,研究了当g(n)=f(n)=Ω(n)时,方程C(n)=Ω3(n)的可解性,并给出该方程的所有正整数解.

Let f（n） and g（n） be two arithmetical functions. The L. C. M.-product （some times it is also called R. D. von Sterneck-Lehmer＇s product） of f（n） and g（n） is defined by C（n） = f（r）g（s）, where [r,s] denotes the L. C. M. of positive integers r and s. The main purpose of this paper is using the elementary method and the properties of g2（n） to study the solvability of the equation C（n） =g23 （n） with g（n） =f（n）=[2（n）,and give its all positive integer solutions.