多项式(1+x)~k+(1-x)~k-2~k的整除性

The Divisibility of Polynomials(1+x)~k+(1-x)~k-2~k

对于正整数k,设Tk(x)=(1+x)k+(1-x)k-2k.本文运用高等代数和初等数论知识证明了:(i)对于任何正整数n,都有T2(x)/Tn(x)和T3(x)/Tn(x);(ii)正整数n满足T5(x)/Tn(x)/和T7(x)/Tn(x)的充要条件分别是n≡±1(mod6)和n≡1(mod6).

For any positive integer k , let Tk（x） ： （1 ＋ x）^k ＋ （1 - x）^k - 2^k . In this paper, by using some knownledge of higher algebra and elementary number theory, we prove that （i） T2（x）/Tn（x） and T3 （x）/Tn （x） for any positive integer n ; （ii） A positive integer n satisfies T5 （x）/Tn （x） or T7 （x）/Tn （x） if and only if n=±（mod 6） or n= 1（mod 6） respectively.