职工因伪造资质被解聘，单位也应支付工资

我是一家从事电梯安装、维修公司的经理。一个月前，公司因扩大经营规模．决定招聘数名电梯维修工。招聘广告言明，应聘者必须具有相应资质，且应当具有五年以上从业经历。而李某为得到该份工作，伪造了相应资质证书，并谎称已有六年工作经历。公司在不明真相的情况下，与李某签订了一份为期两年的书面劳动合同。由于李某在此后的工作中，总是将电梯越修越坏，甚至还差点导致人员伤亡，经公司一再质疑，李某才承认只是跟随他人干过数月。公司当即将其解聘。李某虽同意解聘，但却坚持要公司支付已上班期间的工资。请问：公司究竟应否支付？