矩阵空间M_n(F)上一类线性变换的不动点

Fixed Points of a Class of Linear Transformations on Space M_n(F) of Matrices

讨论由数域F上的一个n阶方阵A所决定的线性变换D A∶Mn(F)→Mn(F),X→AX-XA的不动点。主要结果如下:(1)由DA的全体不动点组成的集合构成矩阵空间Mn(F)的一个子空间,并且这个子空间中的每一个矩阵都是幂零矩阵;(2)如果A是可对角化矩阵,那么由DA的不动点组成的子空间,其维数不超过ψ(n),这里n≥2,并且当n为奇数时,ψ(n)=1/4(n2-1),当n为偶数时,ψ(n)=1/4n2;(3)如果m=p1q1+p2q2+…+ps qs且p1+q1+p2+q2+…+ps+qs≤n,那么存在一个一个n阶方阵A,使得由DA的不动点组成的子空间,其维数等于m,这里p1,q1,p2,q2,…,ps,qs都是正整数;(4)如果DA是矩阵空间Mn(C)上的线性变换,那么DA有非零不动点当且仅当存在A的两个特征值,其差等于1,这里n≥2,并且C表示复数域。

In this paper, we discuss the fixed points of the linear transformation DA：Mn（F）→Mn（F）,X→AX-XA determined by a square matrices A with order n over a number field F. The main results are ai. follews：（1） the set consisting of the whole fixed points of DA is a subspace of the Mn（F） of matrices,and every matrix in such a subspace is nilpotent;（2） if A is a diagonalizable matrix,the dimension if the subspace consisting of the fixed points of DA is not more than ψ（n）where n≥2,and ψ（n）=1/4（n^2-1）if n is odd,and ψ（n）=1/4n^2 ifn is even;（3） if m=p1q1＋p2q2＋…＋psqs且p1＋q1＋p2＋q2＋…十ps＋qs≤n,there is a square matrix A with order n,such that the dimension of the subspace consisting of the fixed points of DA is equal to m,where p1,q1,p2,q2,...,ps,qs are positice integers;（4） if DA is a linear transformation on the space Mn（C） of matrices, has nonzero fixed points if and only if there are two eigenvalues of A,whose difference is equal to 1,where n ≥2,and C denotes the field of complex numbers.