一类四阶渐近线性椭圆型问题多解的存在性

Existence of multiple solutions for a fourth-order asymptotically linear elliptic problem

讨论了如下四阶半线性椭圆型问题{Δ2 u+mΔu=f(x,u),x∈Ω,u=Δu=0,x∈Ω多解的存在性.其中函数f(x,t)关于t在无穷远点处具有渐近线性性;Ω是RN中的有界光滑区域且N>4.很容易验证,f(x,t)不满足著名的Ambrosetti-Rabinowitz型条件,简称(AR)条件,即t1■θ>0,M>0,使得0<F(x,t)■∫f(x,s)ds≤f(x,t)t对a.e.x∈Ω和|t|≥M都02+θ一致成立.由于此条件在山路引理的运用之中非常重要,故该文选择了山路引理的另一种表示形式,进而证明了当f(x,t)满足适当条件的情形下,上述问题存在着多重的非零解.

The paper discusses the existence of multiple solutions for the following fourth-order semilinear elliptic problem {△2u＋m△u=f（x,u）,x（E）Ω,u=△u=0,x（E） （a）Ω,where f（x,t） is asymptotically linear with respect to t at infinity.Ω （E） RN is a smooth bounded domain and N ＞ 4.It is easy to verify that f（x,t） does not satisfy the famous Ambrosetti-Rabinowitz type condition （for short,（AR） condition）,i.e.（E） θ ＞ 0,M ＞ 0,such that 0 ＜ F（x,t） （△）∫10f（x,s）ds≤1/2＋θf（x,t）t uniformly for a.e.x （E） Ω and （V） ｜t｜ ≥ M.By a variant version of Mountain Pass Theorem,we show that the problem has multiple solutions under suitable assumptions of f（x,t）.