方程x^3-8=py^2有本原正整数解的判别条件

The criterions for the equation x^3-8=py^2 has primitive positive integer solutions

设p是适合p≡1(mod6)的奇素数.根据二次Diophantine方程的性质,运用初等方法给出了方程x3-8=py2有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的新的判别条件.当p≡1或7(mod24)时,该方程无解;当p≡13(mod24)时,该方程有解(x,y)=(3r2+2,3rs),其中s是适合ps2=3r4+6r2+1的正整数;当p≡19(mod24)时,该方程有解(x,y)=(r2+2,rs),其中s是适合ps2=r4+6r2+12的正整数.

Let p be an odd prime with p≡1（mod6） .By applying the properties of quadratic Diophantine equations and the elementary methods ,some new criterions for the positive integer solution （x ,y） of the equation x3 -8= p y2 w hen gcd（x ,y）=1 is given .If p≡1 or 7（mod 24） ,then the equation has no solu-tion .If p≡13（mod24） ,then the equation has the solution （x ,y）= （3 r2 ＋2 ,3 rs） ,w here s is a positive integer with ps2 =3r4 ＋6r2 ＋1 .If p≡19（mod24） ,then the equation has the solution （x ,y）= （r2 ＋2 , rs） ,where s is a positive integer with ps2 = r4 ＋6r2 ＋12 .