摘要
题目：已知函数f（x）=ex,x∈R.（Ⅰ）若直线y=kx＋1与f（x）的反函数的图像相切,求实数k的值;（Ⅱ）设x＞0,讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m＞0）公共点的个数;（Ⅲ）设a＜b,比较f（a）＋f（b）/2与f（b）-f（a）/b-a的大小,并说明理由.这是2013年高考陕西卷理科第21题,是本卷的压轴题.本题三问分别考查利用导数解决直线与曲线相切、两曲线交点个数以及比较大小.本题充分体现了函数解答题起点低、落点高的命题特点,本题涉及知识较多,具有很强的综合性和灵活性,解题切入点多,口径宽,解法多种多样,是一道优质的函数压轴题.现对第二问和第三问给出几种解法,并揭示第三问所隐藏的一个更具一般性的不等式及其深刻的高等数学背景,与读者分享.
