The Extension of a Compact Set-Valued Measure

紧集值测度的扩张(英文)

In [ 1 ], the convexity, existence of selectors and Radon-Nikodym derivative of a set-valued measure have been developed . This paper is to invetigate the structure and extension of a compact set-valued measure.

本文研究了紧集值测度的结构特征与扩张,给出如下主要结果: (1) 设是Ω上的集代数,则π是上的紧凸集值测度的充要条件是在上存在一列一致有界,一致强可加的广义测度{μ_n:n≥1)使π(A)={μ_n(A):n≥1}(A∈)且π是有限可加的。 (2) 设π是上的紧凸集值测度,σ为生成的σ-代数,则在σ上存在唯一的紧凸集值测度使(A)=π(A)(A∈)。 该结果证明思路:利用(1)将π分解为π(A)={μ_n(A):n≥1)(A∈);将μ_n扩张到σ上,记为(n≥1),定义(A)={(A):n≥1})(A∈σ),先证明是一致有界,一致强可加,然后通过证明是单调类,可得在σ上是有限可加的。由(1),是π在σ上的扩张。 (3) 利用集值测度的原子集,将π分解为紧凸部分与可数集类上的紧部分,然后分别将之扩张,可得欲证的扩张。