摘要
Hlder不等式及Minkow ski不等式是建立L^p空间和l^p空间的理论基础,有了这两个不等式,才能在L^p空间和l^p空间中引出具有普遍意义的范数来。 引理 若p>1,1/p+1/q=1,则对于任意A≥0,B≥0,有下列不等式 AB≤A^p/p+B^q/q (1) 证明 当AB=0时,不等式(1)显然成立。 当AB≠0时,考虑函数φ(x)=x^p/p+1/q-x(x≥0),由于,φ′(x)=x^(p-1),因此φ′(x)在x<1时,小于零,在x>1时,大于零。故φ(x)在x=1达到最小值0。即对任一x≥0,φ(x)≥0。令x=AB^(-p/q),则A^pB^(-q)/p+1/q-AB^(-p/q)≥0,以B^q乘以上式并注意到q-q/p=q(1-1/q)=1,即得(1)式 注1 (1)式只有在A^p=B^q时等号成立。 注2 当p=q=2时,这时(1)变成显然等式AB≤A^2+B^2/2 一、关于H(?)lder不等式 若p>1,1/p+/q=1,则有 1、H(?)lder不等式的级数形式:对于任意p幂收敛复数列{§k}。
