常系数线性方程组的一种新解法

A New Method for Solving Linear Equations with Constant Coefficients

对于常系数线性微分方程组:dx/dt=Ax(A是n阶实常数矩阵)通过特征根λ和对应的特征行向量K:K^T(A-λE)=0将微分方程组化为线性方程组:1°当有n个互异的特征根λ_1,λ_2,…,λ_n,对应的线性无关的特征行向量为K_1,K_2,…,K_n,若记K_i=(k_1,k_2,…,k_n)(i=1,2,…,n),则有方程组:(n∑i=1 k_ix_i)′=λ_j(n∑i=1 k_ix_I)(j=1,2,…,n);2°当有不同的特征根λ_1,λ_2,…,λ_m其重数分别为n_1,n_2,…,n_m,n_1+n_2+…+n_m=n,对应的线性无关的特征行向量为K_i=(k_1,K_2,…,k_n)(i=1,2,…,m),则有方程组:(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_k(n∑i=1 k_rx_r)((A-λ_jE)x_(n_i)=0;i=1),(n∑i=1 k_rx_r)′=λ_j(n∑i=1k_rx_r)+c_(n_i)e^(λ_jt)((A-λ_kE)x_(i-1)=Ex_i,i=2,…,n_i).

For linear differential equations with constant coefficients：dx/dt=ax（A is the real constant matrix） The eigenvalue of A and corresponding characteristic vector K： KT（A-）λE）=0, the differential equations into linear equations：1° when there are n different characteristic roots λ1, λ2,…,λn, feature vector corresponding to the linear independence is K1, K2, …,Kn , if Ki = （k1, k2,… , kn） （i = 1, 2,… , n）, n there are equations： （∑ni=i kixi）′=λj（∑ni=i kixi（j=1,2,…,n）; 2° degrees when the characteristic roots of λ1,λ2,… ,λm different, the number of n1, n2,…nm, n1＋n2 ＋ … ＋nm = n respectively, and the feature vector corresponding to the linear independence of Ki=（k1,k2,…,kn）（i=1,2,…,m）, there are equations： （∑nr=1 kixi）′=λj（∑nr=1 kixi）（（A-λjE）xni=0;i=1）,（n∑r=1krxr）′λj（n∑r=1krxr）＋cnie^λjt（（A-λjE）xi1=Exi,i=2,…,ni）