一道解析几何高考题的解法探究与溯源拓展

1．问题再现 试题（2014年高考福建卷理科第19题）已知双曲线E：x^2/a^2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0）l的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=-2x．（Ⅰ）求双曲线E的离心率；（Ⅱ）如图1，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一，四象限），且△OAB的面积恒为8，试问：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由。