另解两道数论题

题1求所有的三元正整数数组(x,y,z),使得x≤y≤z,且x^3(y^3+z^3)=2 012(xyz+2).[1]①(第53届IMO预选题)解注意到,2 012(xyz+2)=x^3(y^3+z^3)≥x^4(y^2+z^2)≥2x^4 yz→2 012≥xyz(x^3-1 006).又x≤y≤z,则x<11.对式①两边模x得x|4 024=8×503→x=1,2,4,8.若4|x,则式①中2的幂次左边大于右边,矛盾.故x=1或2.令z+y=s,z-y=t.(1)若x=2,则y^3+z^3=503(yz+1)