对数平均和双参数广义Muirhead平均之间的比较

Comparison between the logarithmic and two-parameter generalized Muirhead means

本文讨论了两个不同正实数x和y的对数平均L(x,y)=(x-y)/(logx-logy)与双参数广义Muirhead平均M(a,b;x,y)=[(x^ay^b+x^by^a)/2]^(1/(a+b))之间的比较,得到了如下三个结论:(11)若(a,b)∈D_1∪E_1∪L_0,则M(a,b;x,y)<L(x,y);(2)若(a,b)∈D_2∪E_2,则M(a,b;x,y)>L(x,y);(3)若(a,b)∈D_3∪E_3,则存在x_1,y_1,x_2,y_2,使得M(a,b;x_1;y_1)<L(x_1,y_1)和M(a,b;x_2,y_2)>L(x_2,y_2).其中D_1={(a,b)∈R^2:a+b≠0,b>a,ω_1(a,b)≤0,ω_2(a,b)≤0},E_1={(a,b)∈R^2:a+b≠0,b<a,ω_1(a,b)≤0,ω_2(a,b)≤0},D_2={(a,b)∈R^2:ab≤0,b>a,ω_1(a,b)≥0},E_2={(a,b)∈R^2:ab≤0,b<a,ω_1(a,b)≥0},D_3={(a,b)∈R^2:b>a>0,ω_1(a,b)>0)∪{(a,b)∈R^2:b>a>0,ω_1(a,b)=0,ω_2(a,b)>0}∪{(a,b)∈R^2:b>a,ab≤0,ω_1(a,b)<0,ω_2(a,b)>0},E_3={(a,b)∈R^2:a>b>0,ω_1(a,b)>0}∪{(a,b)∈R^2:a>b>0,ω_1(a,b)=0,ω_2(a,b)>0}∪{(a,b)∈R^2:a>b,ab≤0,ω_1(a,b)<0,ω_2(a,b)>0},L_0={(a,b)∈R^2:a=b≠0},ω_1(a,b)=(a+b)[3(a-b)~2-(a+b)],ω_2(a,b)=(a+b)[2(a-b)~2+1]-3(a^2+b^2).

In this article, we discuss the comparison between the logarithmic mean L（x, y） = （x - y）/（log x -log y） and the two-parameter generalized Muirhead mean M（a, b; x, y） =[（x^ay^b＋x^by^a）/2]^（1/（a＋b））of two distinctpositive real numbers x and y, present three results as follows： （1） M（a, b; x, y） ∈ L（x, y） if （a, b） ∈ D1 ∪ E1 ∪ L0;（2） M（a,b;x,y） 〉 L（x,y） if （a,b） ∈ D2∪E2; （3） there exist x1,y1,x2,y2 such that M（a,b;x1,y1） 〈 L（x1,y1） andM（a,b;x2,y2） 〉 L（x2,y2） if （a,b） E D3∪2E3. Here,D_1={（a,b）∈R^2：a＋b≠0,b〉a,ω_1（a,b）≤0,ω2（a,b）≤0},E1={（a,b）∈R^2：a＋b≠0,ba,ω1（a,b）≥0},E2={（a,b）∈R^2：ab≤0,ba〉0,ω1（a,b）〉0）∪{（a,b）∈R^2：b〉a〉0,ω1（a,b）=0,ω2（a,b）〉0}∪{（a,b）∈R^2：b〉a,ab≤0,ω1（a,b）〈0,ω2（a,b）〉0},E3={（a,b）∈R^2：a〉b〉0,ω1（a,b）〉0}∪{（a,b）∈R^2：a〉b〉0,ω1（a,b）=0,ω2（a,b）〉0}∪{（a,b）∈R^2：a〉b,ab≤0,ω1（a,b）〈0,ω2（a,b）〉0},L0={（a,b）∈R^2：a=b≠0},ω1（a,b）=（a＋b）[3（a-b）^2-（a＋b）],ω2（a,b）=（a＋b）[2（a-b）^2＋1]-3（a^2＋b^2）.