任意矩阵特征值的秩1修正扰动界

Eigenvalue Variations for Rank-one Update of Arbitrary Matrices

设A是一个n阶的任意复矩阵且E是A的Hermite秩1扰动,即E=xx',其中x是n维的复列向量,x'是x的共轭转置向量.则A+E为矩阵A的Hermite秩1修正矩阵.基于矩阵分析理论中Hermite矩阵特征值分布的性质,研究得到了矩阵A特征值的任意Hermite秩1修正扰动的上下界限,即给出了矩阵A+E特征值的上下界限:λ_i(H(A))+l_i(x)+δ_i≤R(λ_i(A+xx'))≤λ_i(H(A))+u_i(x)+δ'_i(i=1,n),λ_i(H(A))+l_i(x)+δ_i≤R(λ_i(A+xx'))≤min{λ_i(H(A))+u_i(x),λ_(i-1)(H(A))}+δ'_i(2≤i≤n-1),且λ_(min)(-SH(A)τ)≤S(λ_i(A+xx'))≤λ_(max)(-SH(A)τ)(1≤i≤n),其中δ_i=sgn(‖SH(A)‖_2)[λ_(min)(H(A))-λ_(i-1)(H(A))-u_i(x)],δ'_i=sgn(‖SH(A)‖_2)[λ_(max)(H(A))-λ_i(H(A))-l_i(x)+‖x‖_2~2],gap_i=λ_(i-1)(A)-λ_i(A),i=2,…,n,H(A)和SH(A)分别代表矩阵A的Hermite部分和反Hermite部分,τ=(-1)^(1/2),sgn(·)代表符号函数.当A为Hermite矩阵时,上述结果退化为已有的结果λ_i(A)-‖x‖_2~2≤R(λ_i(A+xx'))≤λ_i(A)+‖x‖_2~2.

Assume that matrix A is an arbitrary complex matrix of order n and E is a Hermitian rank-one matrix,i. e.,E = xx＇,where x is a complex column vector of order n and x＇ is the conjugate transpose vector of x. So,A ＋ E is called Hermitian rank-one update of matrix A. Based on the properties of matrix analysis theory in Hermitian matrix eigenvalue distribution,Hermitian rank-one perturbation bounds of an arbitrary matrix is given and two-side bounds for eigenvalues of A ＋ E are presented as follows： λi（H（A））＋li（x）＋δi≤R（λi（A＋xx＇））≤λi（H（A））＋ui（x）＋δ＇i（i=1,n）,λi（H（A））＋li（x）＋δi≤R（λi（A＋xx＇））≤min{λi（H（A））＋ui（x）,λ（i-1）（H（A））}＋δ＇i（2≤i≤n-1）,且λ（min）（-SH（A）τ）≤S（λi（A＋xx＇））≤λ（max）（-SH（A）τ）（1≤i≤n）,其中δi=sgn（‖SH（A）‖2）[λ（min）（H（A））-λ（i-1）（H（A））-ui（x）],δ＇i=sgn（‖SH（A）‖2）[λ（max）（H（A））-λi（H（A））-li（x）＋‖x‖2^2],gapi=λ（i-1）（A）-λi（A）,i=2,…,n H（A） and SH（A） stand for Hermitian part and anti-Hermitian part of matrix A,τ and sgn（ · ） denotes sign function. When A is Hermitian, the above results reduce to λi（A） -｜｜x｜｜2^2≤R（λi（A ＋xx＇）≤ λi（A） ＋ ｜｜x｜｜2^2.