可逆上三角矩阵群的交换自同构

Commuting Automorphisms on Invertible Upper Triangular Matrices

设G是群,φ:G→G为自同构.若对任意的x∈G,有φ(x)x=xφ(x),则称φ为G上的交换自同构.设Tn是域F上所有n×n阶可逆上三角矩阵全体按矩阵乘法构成的群,n≥3,F*为F中非零元全体组成的乘法群.证明了映射φ:Tn→Tn为Tn的交换自同构当且仅当存在群同态σi:F*→F*,1≤i≤n,使得φ(A)=(∏ni=1σi(aii))A,对A=(aij)n×n∈Tn,并且对任意的k=1,2,…,n,以及任意的a∈Imσk,方程xσ1(x)σ2(x)…σn(x)=a在F*中存在唯一解.

Let G be a group,an automorphism φ： G → G is called a commuting automorphism,if for all x ∈ G,φ（x） x = xφ（x）. Let n be a positive integer larger than 3 and F a field. Denote by Tnthe multiplicative group consisting of all n × n invertible upper triangular matrices over F.Prove that a map φ： Tn→ Tnis a commuting automorphism on Tnif and only if there exist group honmomorphisms σi： F^＊→ F^＊,1 ≤ i ≤ n,such that φ（A） =（∏ni=1σi（aii）） A,for A =（aij）n × n∈Tn,and for any k = 1,2,…,n and any a ∈ Imσk,the equation xσ1（x） σ2（x） …σn（x） = a has a unique solution in F＊.