为构建逻辑连贯的学习过程而设计——课例“平面向量基本定理”评析

数学家陈省身说过这样一段话：“平面上一个点，什么都没有，赤裸裸的一个点，就像原始的一个人；后来弄一个坐标，一点就变成（x，y）了，它就可以算了，但是这个点本身不能算，它的坐标可以算；到了向量之后，点本身可以算了，这个点与那个点可以相加；到了复数，不仅有加法，复数也是这个点，它就可以乘除了，它就是现代人。一个点从孤零零的到它可以参与运算，这是一个系列的、非常漂亮的人的思维发展过程。”一段话勾勒了中学代数的轮廓，描述了让“点”参与运算的数学建模进程。到了向量，点是如何参与运算的呢？任何一个向量空间都存在一组线性无关的基底向量，使任意一个向量都能唯一地表示成基底向量的线性组合，这是点的向量表示与运算的理论基础。