k-集合上与算术函数关联矩阵的行列式（英文）

Determinants of matrices associated with arithmetic functions on k-set

设S={x1,…,xn}是由n个不同元素组成的正整数集合,f是一个算术函数.用(f(S))=(f(xi,xj))表示一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最大公因子(xi,xj)处的取值,用(f[S])=(f[xi,xj])表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为f在xi与xj的最小公倍数[xi,xj]处的取值.若xi与xj的最大公因子(xi,xj)=k,1≤i≠j≤n,则称S是k-集合.本文主要给出了定义在k-集合上的矩阵(f(S))和(f[S])的行列式的计算公式.进而作为推论给出了det(f(S))|det(f[S])的条件.

Let S = {xl ,…… ,xn } be a set of n distinct positive integers and f be an arithmetic function. We use （f（S）） = （f（xi ,xi）） （respectively. （f[S]） = （f[xi ,xi]） to denote the n X n matrix having f evalua- ted at the greatest common divisor （xi,xi ） （respectively, the least common multiple [-xi,xj ] ） of xl and xi as its i,j- entry. Let k ≥1 be an integer. The set S is said to be a k- set if （xi ,xi） = k for 1 ≤ i ≠ j ≤ n. In this paper,we obtain the determinants of the matrices （f（S）） and （f[S]） on the k- set S. As a corol- lary. we find that det （f（S）） divides det （f[S]） under some natural conditions.