关于一些群的分解性讨论

主要讨论群的分解问题,要讨论群的分解首先要引入直积的概念。而为了接下来讨论的方便,就要给出关于直积的一个非常重要的定理。之后,自然地给出了可分解群的概念。通过举出两个循环群的例子,得到一类循环群可分解的一个充分条件,并且通过算术基本定理,将这个结论推广到所有的有限循环群上。然后在此基础之上,通过讨论循环群与交换群的关系,发现有限交换群与有限循环群具有相同的分解性。此外,也给出了一些不可分解群的实例,特别是一个文字上的对称群,而具有一些很好的性质,通过这些性质得到了一个群可分解的充分条件。最后给出了一个群可分解甚至可唯一分解的一个非常重要的充分条件,并利用这个反过来讨论了文章之前所举的可分解群分解唯一性的问题。并且通过良序性质,最后证明了整数加群满足降链条件而不满足升链条件。