再议一道北方邀请赛试题的简证和引申

文[1]题3对第十届北方数学奥林匹克邀请赛题用三角法作了妙解。经笔者研究,用纯几何法也很简单,给出下述两种解法并作相关引申。题目如图1,在△ABC中,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E,M为DE的中点,且AM⊥BE于点F。证明：△ABC为等腰三角形。（第十届北方数学奥林匹克邀请赛）证法1如图1,取AD的中点N。联结MN。则MN为Rt△ADE的中位线。于是,MN⊥DE。由已知AD⊥BC,AF⊥BE,得∠DBE=∠DAF;由已知DE⊥AC,AF⊥BE,得∠FAE=∠FEM。