用实变函数理论透视数学分析

我们在数学分析中学习的微积分是普通微积分，它是由牛顿和莱布尼茨所建立的，存在着明显的缺陷。主要有三个方面。第一，黎曼意义下可积的函数类的范围太小。例如，定义在[0，1]上的狄利克雷函数D（x），在黎曼积分（也称R积分）意义下不是可积函数，这一点实在遗憾!因为单从形式上看它是个非常“简单”的函数，函数值只有两个值．却居然黎曼不可积．这说明黎曼可积函数类的范围太小。深入研究可知。黎曼可积函数空间是不完备的，即黎曼可积函数列的极限函数未必黎曼可积。空间的不完备使得泛函分析等近代数学方法和技巧无法应用。