构造函数巧证不等式——从一道中科大夏令营试题谈起

问题（2013年中科大数学夏令营试题）已知n∈N,n≥2求证：（1＋1/n）n〈3.解析：注意到待证不等式等价于1＋1/n〈31/n,于是我们可构造函数f（x）=3x-x-1,x∈（0,1）,而f′（x）=3xln3-1〉0,故f（x）在（0,1）上为增函数,故f（x）〉f（0）=0,即3x〉x＋1,取x=1/n,n∈N,n≥2,即可知待证式成立.该问题的证明方法很多,上述证明是通过构造函数f（x）=3x-x-1来证明不等式,