Abel环的一些刻画(Ⅳ)

Some characterizations on Abel rings(Ⅳ)

给出了Abel环的几个新刻画:1)设S是环R的非空子集且E(R)■S,则R是Abel环当且仅当对任意a∈R,e∈E(R),ae∈CS(R)蕴涵ea∈CS(R)当且仅当对任意e,g∈E(R),eg∈CS(R)蕴涵ge∈CS(R);2)R为Abel环当且仅当W2(R)是quasi-normal环;3)R为Abel环当且仅当对R的每一个幂等元e,存在唯一的square元u及唯一的幂等元g,使得ue=1+gu.

In this paper, some new characterizations of Abel rings are given. 1） If S is a nonempty subset of a ring R and E（R） S, then R is an Abel ring if and only if for each a∈R, e∈E（R）, ae∈Cs （R） always implies ea ∈ Cs （R） if and only if for any e, g∈ E（R） , eg ∈ Cs （R） always implies gee Cs（R） ; 2） R is an Abel ring if and only if W2（R） is quasi-normal ring; 3） R is an Abel ring if and only if for each eE∈（R）, there exist a unique square element u of R and a unique gE E（R） such that ue= 1＋gu.