关于指数Diophantine方程a^x+b^y=z^2的一个注记

A Note on the Exponential Diophantine Equation a^x+b^y=z^2

设a和b是大于1的互素的正奇数.当(a,b)=(3,5),(3,85),(5,43)或(5,63)时,方程ax+by=z2无正整数解(x,y,z).运用初等数论方法证明了以下一般性的结果:如果a是适合a≡±3(mod 8)的奇素数,b有约数d可使(a/d)=-1,其中(a/d)是Jacobi符号,则该方程仅有正整数解(a,b,x,y,z)=(11,3,4,5,122).

Let a and b be odd positive integers such that min { a, b }〉 1 and gcd （ a, b） = 1. Recently, B. Sroysang proved that if （ a, b） = （3,5）, （3,85）, （5,43） or （5,63）, then the equation a^x ＋b^y =z^2 has no positive integer solutions （x,y,z）. In this paper, using elementary nmnber theory methods, we prove that if a is an odd prime with a≡± 3（mod 8）, b has a divisor d with （a/d） = - 1, where （a/d） is the Jaeobi symbol, then the equation has only the solution （a,b,x,y,z） = （11,3,4,5,122） .