从一道联考试题看椭圆及其“伴随圆”的一个性质

一、考题再现考题（2016年3月长沙地区高三联合考试理科数学第20题）已知椭圆C：（x2）/（a2）＋（y2）/（b2）=1（a〉b〉0）的离心率为3（1/2）/2,点A（1,3（1/2）/2）在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,判断是否存在以原点O为圆心的圆,满足此圆与l相交两点P1、P2（两点均不在坐标轴上）,且使得直线OP1、OP2的斜率之积为定值？若存在,求此圆的方程;若不存在,说明理由.