数论函数方程φ(xy)=kφ(x)φ(y)的正整数解

Positive integer solutions of arithmetic function equation φ(xy)=kφ(x)φ(y)

设n是正整数,φ(n)是Euler函数。讨论数论函数方程φ(xy)=kφ(x)φ(y)的正整数解问题,得出该方程只有在k=1,2,3情况下有正整数解,并且当k=1时,正整数解为(x,y)=(Q_1,Q_2),其中Q_1,Q_2是满足gcd(Q_1,Q_2)=1的正整数;当k=2,正整数解为(x,y)=(2αQ_1,2αQ_2),其中Q_1,Q_2是满足gcd(Q_1,Q_2)=1的正整数,gcd(Qi,2)=1,i=1,2,α是正整数;当k=3时,正整数解为(x,y)=(2β3αQ_1,2β3αQ_2),其中Q_1,Q_2是满足gcd(Q_1,Q_2)=1的正整数,gcd(Qi,2)=1,gcd(Qi,3)=1,i=1,2,α,β是正整数。

Let n be a positive integer, and let φ （n） be Euler function. The positive integer solutions of arithmetic function equation φ（xy）=kφ（x）φ（y） are studied. It is shown that the equation has positive integer solutions only if k = 1,2,3. If k = 1, then this equation has positive solutionsx,y=（Q1,Q2）,where gcd（ Q1 ,Q2 ） = 1 ; If k =2, then this equation has positive solutions （x,y） = （2αQ1 ,2αQ2 ）, where gcd（ Q1, Q2 ） = 1, gcd（ Qi ,2） = 1, i = 1,2, and α is a positive integer; If k =3, then this equation has positive solutions （x, y） = （2β3αQ1,2β3αQ2）, where gcd （Q1, Q2） = 1, gcd （Q1, Q2） = 1,gcd（ Qi ,3） = 1 ,i = 1,2and α ,β are positive integers.