一题多解

在数学的学习过程中,我们经常会遇到一题多解的习题,特别是在几何习题的证明中,但解题的方法大都是在一个数学体系的某个领域内。例如,初等几何、代数等。在此想介绍一道一题多解的习题,它的解法包含在几何、代数、微积分学等众多的数学领域。 习题:求直线L上一点C使其到直线同侧两点A,B的距离之和|AC|+|BC|最短。 解法一:求其中一点A关于L的对称点A＇连接 A＇B和L相交于C点,则C就是所求的点。 证明:任选另一点C在L上 则有:AC＇=A＇C＇,（A,A＇关于L对称） AC=A＇C 在三角形A＇C′B＇中,A＇C＇+B＇C′】AB=AC+BC 即AC＇+BC＇】AC+BC 由C＇的任意性可知,C就是使得AC+BC最短的点。 解法二:以A,B为焦点作一椭园和L相切于C点,则切点C就是所求的点。 证明:∵椭园上一点到两焦点的距离为定长,如果和L相交于C＇点（或C＂）显然AC＇+BC＇】AC+BC,如果和L不相交也不相切,显然椭园中任一点都不在L上。 ∴相切的点是距离最短的点。 解法三:设A,B到L的距离分别为a、b,EF间的距离为以c,如图由直观可知,C在EF之间而不在EF的两边。