关于n-维球面上分数阶积分的卷积表示

On Representation by Convolution of Fractional Integral on Sphere

设 f是Rn 中的单位球面Ωn(n 2 )上的可积函数 , F :={ ψ :｜ ψ｜单调趋于零 ∑∞k=1(Δλψ(k) )kλ- 1logk<∞ } Lψ(Ωn) :={ f∈L(Ωn) : φ∈L(Ωn) ,SF-L(φ) (x) =∑∞k =11ψ(k) Yk(f) (x) }其中SF-L(φ)表示 φ∈L(Ωn)且 φ具有零平均 (记作 φ∈L0 (Ωn) )的Fourier Laplace级数。得到了若 ψ ∈F ,则 f∈Lψ ,有 :f =Y0 (f) + φ Dψ 其中 φ ∈L0 (Ωn) ,∑∞k =1ψ(k)cn ,kPnk(ξ·η)是Dψ(ξ·η) ∈L(Ωn) ,且SF-L(φ)表示 φ ∈L(Ωn) ,φ具有零平均的Fourier Laplace级数。

Let fbe an integrable function on the unit sphere Ω n(n2) of R n and let F := {ψ:|ψ| monotonically tending to zero ∑∞k=1( Δ λψ(k))k λ-1 log k<∞} L ψ(Ω n) := {f∈L(Ω n):φ∈L(Ω n),S F-L (φ)(x)=∑∞k=11ψ(k)Y k(f)(x)} where S F-L (φ) denotes the Fourier Laplace series of function φ. This paper proves that if f∈L ψ. we have f=Y 0(f)+φ*D ψ, where φ∈L 0(Ω n), while ∑∞k=1ψ(k)c n,k P n k(ξ·η) is the Fourier Laplace series of D ψ(ξ·η)∈L(Ω n).