von Neumann代数上的Lie可导映射

Lie Derivable Maps on von Neumann Algebras

设A是不含交换中心投影的von Neumann代数,投影P∈A使得P=0, P=I.称可加映射δ:A→A在Ω∈A Lie可导,若δ([A,B])=[δ(A,δ(B)],■A,B∈A,AB=Ω.该文证明,若Ω∈A满足PΩ=Ω,则δ在ΩLie可导当且仅当存在导子τ:A→A和可加映射f:A→Z(A)使得δ(A)=τ(A)+f(A),■A∈A其中f([A,B)=0,■A,B∈A,AB=Ω.特别地,若A是因子von Neumann代数,Ω∈A满足ker(Ω)≠0或ran(Ω)≠H,则可加映射δ:A→A在ΩLie可导当且仅当δ有上述形式.

Let A be a von Neumann algebra with no central abelian projections, P ∈ A be a projection with （ ）= 0 and （ ）=I. An additive map （ ）： A → A is said to be Lie derivable at Ω∈A, if （ ）（[A, B]） [（ ）（A）, B] ＋ [A, （ ）（B）] for any A,B∈A with AB=Ω. We show that, if Ω∈A such that PΩ=Ω, then（ ） is Lie derivable at Ω if and only if there exist a derivation （ ）： A→A and and additive map f：A→ （ ）（A）vanishing at commutators [A, B] with AB=Ω such that （ ）（A） =d（A） ＋ f（A）, （ ）A∈A. In particular, if A is a factor von Neuamnn algebra and Ω ∈ A such that ker（Ω） ≠ 0 or ran（Ω）≠H,then （ ） is Lie derivable at Ω if and only if it has the above form.