一道赛题的解法探究

题目(29届“希望杯”高一赛题)已知实数x,y满足3x 2-4xy+3y 2=4,若S=x 2+y 2,则S的取值范围是.思路1:利用不等式求解引理 1.若a∈R,b∈R,则a 2+b 2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立;2.若a∈R,b∈R,则-(a 2+b 2)≤2ab,当且仅当a=-b时等号成立.解法1:由3x 2-4xy+3y 2=4变形可得3(x 2+y 2)-4=4xy,由引理1可得4xy≤2(x 2+y 2),即x 2+y 2≤4,当且仅当x=y=2或x=y=-2时等号成立;由引理2可得4xy≥-2(x 2+y 2),即x 2+y 2≥4 5,当且仅当x=10 5,y=-10 5或x=-10 5,y=10 5时等号成立.