摘要
安振平老师提出的一组二十六个优美不等式中的第五个:设x,y,z为正实数,且满足x+y+z=1,求证:x x+yz+y y+zx+z z+xy≤9 4.(1)何业亮老师在文[1]中给出了一种简洁证法.本文在此证明这个不等式可以加强且存在下界.即设x,y,z为正实数,且满足x+y+z=λ(λ>0),求证:3 3+λ<x x+yz+y y+zx+z z+xy<9 4λ(0<λ<1);(2)3 3+λ<x x+yz+y y+zx+z z+xy≤9 4(λ≥1).(3)证明:由题设可知0<x,y,z<λ,则λx>x 2>0,λy>y 2>0,λz>z 2>0,由均值不等式知xy+yz+zx≤1 3(x+y+z)2=λ2 3,x x+yz+y y+zx+z z+xy=λxλx+λyz+λyλy+λzx+λzλz+λxy>x 2λx+λyz+y 2λy+λzx+z 2λz+λxy≥(x+y+z)2λ(x+y+z)+λ(xy+yz+zx).
