对一个精彩不等式的证明

文[1]末提出一个精彩不等式:已知a,b是正数,求证:1/a+b+a/b+2+b/3a+1>1(1).在此,笔者将对不等式(1)进行证明.证明:∵a,b是正数,(一)当0<a+b≤1,或b≥3a+1,或b≥3a+1,不等式(1)显然成立.(二)当a+b>1,且0<a<b+2,且0<b<3a+1,即1-b<a<b+2(0<b<1)或1 3(b-1)<a<b+2(b≥1)时,(1)若1 a+b+a b+2≥1等价整理得(a-1)2≥b 2+b-1(2).