第19个优美不等式的再证与推广

文[1]—[4]的四位老师均给出了文[5]中安振平老师提出的第19个不等式的证明,但证明方法不利于不等式的推广,本文给出另一种证法和推广.题目若a,b,c为正数,a+b+c=3,求证:(3 a-2)(3 b-2)(3 c-2)≤1.证明:因为a+b+c=3,所以a,b,c最多有一个大于等于3 2,不妨假设c≥3 2,则3 c-2≤0,3 a-2>0,3 b-2>0,故不等式左边非正,所以不等式成立.因此只需考虑a,b,c∈(0,3 2).