摘要
试题已知a,b,c≥0且满足b+c≤a+1,c+a≤b+1,a+b≤c+1,证明:a 2+b 2+c 2≤2abc+1.此题题设及待证不等式均为对称,但限制条件较多且不常见,导致破解试题有一定的难度.宋庆老师在罗马尼亚不等式论坛上给出试题的如下解答:证明:由条件得a,b,c∈[0,1],不妨设a=max{a,b,c},则0≤a-bc≤(1+b)(1-c),0≤a-bc≤(1+c)(1-b),两式相乘得(a-bc)2≤(1-b 2)(1-c 2),展开可得a 2+b 2+c 2≤2abc+1.
