一道罗马尼亚竞赛题的分析与推广

Analysis and Promotion of a Problem in Romanian Mathematics Competition

1问题提出题1是第66届罗马尼亚国家队选拔考试中的一道数列与整除相结合的赛题.题1已知整数列{a_n}:a0=1,a_n=n-1/∑/k=0C^k/nak(n≥1).令m为正整数,p为素数,q、r为非负整数.证明:两项之差a(p^mq+r)-a(p^(m-1)q+r)能被p^m整除.[1]这是一道内涵丰富、背景深刻的好题,涉及知识要点较为综合且解法多样,既可用初等方法来解决,又可联系高等数学中的有关内容加以深度挖掘.