一道模考题的本源探究及其拓展

题目(2020年南昌市一模理科第20题)已知圆F1:(x+1)^2+y^2=r^2(1≤r≤3),圆F2:(x-1)^2+y^2=(4-r)^2.(1)证明圆F1与圆F2有公共点,并求公共点的轨迹E的方程.(2)已知点Q(m,0)(m<0),过点F2斜率为k(k≠0)的直线与(1)中轨迹E相交于M,N两点,记直线QM的斜率为k1,直线QN的斜率为k2,是否存在实数m使得k(k1+k2)为定值?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.