2020年高考数学解答题解法荟萃(续1)

全国卷Ⅲ理科第17题:设数列{an}满足a1=3,an+=3an-4n。(Ⅰ)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;(Ⅱ)求数列{2nan}的前n项和Sn。解:(Ⅰ)解法1 a2=5,a3=7,猜想an=2n+1。证明:当n=1时,a1=3,满足上式;假设当n=k(k∈N*)时,ak=2k+1成立。则当n=k+1时,由递推公式有ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2(k+1)+1。综上所述,n∈N*,an=2n+1。