摘要
题目证明:对于任意ΔABC,不等式a cos A+b cos B+c cos C≤p成立,其中a,b,c为ΔABC的三边,A,B,C分别为它们的对角,p为半周长.解法1:原不等式等价于a(1-2 cos A)+b(1-2 cos B)+c(1-2 cos C)≤0①.由余弦定理,不等式①等价于a^(4)+b^(4)+c^(4)-2(a^(2)b^(2)+b^(2)c^(2)+a^(2)c^(2))+a^(2)bc+b^(2)ca+c^(2)ab≥0②.要证明②式,只需证明(a^(2)+b^(2)+c^(2))2-4(a^(2)b^(2)+b^(2)c^(2)+a^(2)c^(2))+abc(a+b+c)≥0,即证明(a^(2)+b^(2)+c^(2))3-4(a^(2)b^(2)+b^(2)c^(2)+a^(2)c^(2))(a^(2)+b^(2)+c^(2))+abc(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2))≥0③.由均值不等式可得abc(a+b+c)(a^(2)+b^(2)+c^(2))≥abc·33 abc·33 a^(2)b^(2)c^(2)=9a^(2)b^(2)c^(2).故要证③式,只需证(a^(2)+b^(2)+c^(2))3-4(a^(2)b^(2)+b^(2)c^(2)+a^(2)c^(2))(a^(2)+b^(2)+c^(2))+9a^(2)b^(2)c^(2)≥0④,由舒尔不等式可知④式显然成立,因此原不等式得证.
